Не пойму - что это у него позади киля? Руль направления? Маленький какой-то... Триммер? Большой слишком...

Это наверное фиксированный руль направления, что бы как на Ми-26 не заморачиваться профиль специальный делать и так далее. Здесь сделали проще, да и при необходимости ещё и регулировать можно.

На первых экземплярах стояли триммеры, шайбы на крыльях и сами крылья имели больший угол поперечного V. В процессе испытаний шайбы и триммеры убрали, угол поперечного V уменьшили, а киль сделали профилированным (с загибом вправо, что видно на фотографии). Если верить информации в интернете по этому борту, то он был оборудован в вариант трубоукладчика. Возможно, что для этой модификации пришлось дополнительно устанавливать то ли триммер, то ли руль направления, то ли фиксированную рулевую поверхность.

Исследование вопроса про что-то позади киля.
Сходу ответ мне показался очевидным - это же руль направления. Ведь триммер должен быть маленьким элементом на большой поверхности.
Но в книге "Неизвестный Яковлев. «Железный» авиаконструктор" (автор Н. Якубович) речь идёт именно о триммере. Его сняли с киля в ходе доработки хвостового оперения.
Значит, при отклонении педалей эта поверхность не отклонялась. Она использовалась, чтобы в полёте снять усилия с педалей. Это и есть функция триммера. А при отклонении педалей, следует в таком случае понимать, менялся перекос лопастей винтов: у переднего - в одну сторону, у заднего - в другую (при создании крена перекос лопастей переднего и заднего винтов менялся в одну и ту же сторону).
Михаил, спасибо за вопрос!

История этого борта из книги "Неизвестный Яковлев. «Железный» авиаконструктор" (автор Н. Якубович):
20 июля 1957 года на Комендантском аэродроме в Ленинграде начались заводские испытания вертолёта-трубоукладчика Як-24 «Нерпа», предназначенного для прокладки полевого магистрального трубопровода ПМТ-100 для подачи горючего к местам дислокации боевой техники через непроходимые для колёсной и гусеничной техники участки суши. По бортам серийной машины (заводской № 03310) размещались четыре кассеты, в которых могло находиться до 88 труб (средний вес трубы – 30,5 кг). Взлётный вес вертолета при этом достигал 14 900 кг. Раскладка осуществлялась в автоматическом режиме вдоль выбранной трассы. Перед раскладкой (за 40–50 метров до начала) с вертолёта сбрасывалась «кошка» с тросом длиной 600–650 метров, вращавшим барабан. Разматываясь, трос вращал ролик задающего механизма сброса труб, и начинал работать указатель путевой скорости. Был предусмотрен и аварийный сброс труб без применения «кошки».
В ходе испытаний выполнили 49 полётов и 159 сбросов труб. За один вылет Як-24 укладывал нитку трубопровода длиной 528 метров. Государственные испытания трубоукладчика завершились 31 марта 1958 года. Ведущими по испытаниям были инженер С. Х. Атабекян и лётчик-испытатель К. Д. Таюрский.
Испытания показали практическую пригодность Як-24 для этих целей, причём в вариант трубоукладчика можно было переоборудовать любой серийный вертолёт. Автоматическая раскладка труб осуществлялась с высот от 8 до 40 метров.
После испытаний вертолёт возвратили на завод и переоборудовали в топливозаправщик (тема «Луч»). Для этого в грузовой кабине разместили три 1060-литровых бака, или до десяти 200-литровых бочек, или 99 двадцатилитровых канистр. Заправка до четырёх объектов боевой техники могла проводиться как с посадкой, через четыре горловины, так и на режиме висения - с помощью одного рукава. Государственные испытания (ведущие – инженер А. М. Загордан и лётчик-испытатель К. Д. Таюрский), проведённые с 24 мая по 26 июня 1958 года, показали, что запас прочности вертолёта оказался недостаточным для выполнения подобных операций, и вопрос о принятии на вооружение как топливозаправщика, так и трубоукладчика должен был решиться после завершения войсковых испытаний Як-24.
Летом 1959 года Як-24 № 27203310 вновь переоборудовали в трубоукладчик и временно передали в ГУ ГВФ. В июле того же года вертолёт использовали при прокладке труб через заболоченные участки газопровода Саратов – Ленинград. После завершения строительства газопровода Як-24 вернули военным, но ненадолго. В 1961 году эту же машину вновь арендовала гражданская авиация, а когда Як-24 исчерпал свой ресурс, его перегнали на вечную стоянку в Монинский музей ВВС.
Надо сказать, что, несмотря на хранение вертолёта под открытым небом, в музее за ним организовали должный уход. Более того, в конце 1960-х годов на Як-24 заменили перкалевую обшивку и покрасили, а лопасти несущих винтов смешанной конструкции – цельнометаллическими от Ми-4.

"Михаил, спасибо за вопрос!"
Не за что совсем - это Вам спасибо за подробный и обстоятельный экскурс. Собственно, я выбрал фото именно с этого ракурса, чтобы задать этот вопрос. На других моих фото и тех, что имеются здесь, этого элемента не видно.

"Более того, в конце 1960-х годов на Як-24 заменили перкалевую обшивку и покрасили".
Во как! Перкалевый? Он частично был перкалевым или в большинстве своем? Как-то у меня перкалевый вертолет совсем в голове не укладывается, правда близко я знаком только с Милевскими машинами.

Возможно, перкаль - особенность этого борта. Его переделывали и в трубоукладчик, и в топливозаправщик. А под конец его эксплуатировали в ГА до исчерпания ресурса. Видимо, когда в музей сдавали, то прорехи залатали перкалем.